因為 $P(2, 2, 1)$ 是平面 $E$ 上距離原點 $O$ 最近的點，所以向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = (2, 2, 1)$ 與平面 $E$ 意指垂直。即為平面 $E$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (2, 2, 1)$。 利用點法式可得平面 $E$ 方程式： $$2(x-2) + 2(y-2) + 1(z-1) = 0 \implies 2x + 2y + z = 9$$ 各選項分析如下： - $(1)$ 錯誤：法向量為 $(2, 2, 1)$，而 $(1, -1, 0)$ 不平行法向量。 - $(2)$ 正確：點 $A(4, 4, 2) = 2(2, 2, 1)$，其與 $P$ 點的連線向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = (2, 2, 1)$ 正好與平面法向量平行，且 $P$ 點在平面 $E$ 上，故 $P$ 點是平面 $E$ 上距離點 $(4,4,2)$ 最近的點。 - $(3)$ 正確：將 $(0, 0, 9)$ 代入平面方程式 $2(0) + 2(0) + 9 = 9$，等式成立，故此點在平面 $E$ 上。 - $(4)$ 錯誤：點 $B(2, 2, -8)$ 到平面 $E$ 的距離： $$d(B, E) = \dfrac{|2(2) + 2(2) + (-8) - 9|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \dfrac{|4+4-8-9|}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$$ - $(5)$ 錯誤：直線方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v_L} = (2, 2, -8)$。其與平面法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (2, 2, 1)$ 做內積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{v_L} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n} = 2(2) + 2(2) + (-8)(1) = 4 + 4 - 8 = 0$$ 代表該直線與平面法向量垂直，因此直線與平面平行。又原點 $(0, 0, 0)$ 不在平面上，故此直線與平面 $E$ 不相交。 綜合上述，正確選項為 $(2)(3)$。