設二階方陣 $M = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$。 根據題目已知條件： $M A = B \implies \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} 3p - 2q = 3 \\ 3r - 2s = 2 \end{cases}$ $M B = C \implies \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} 3p + 2q = -3 \\ 3r + 2s = 2 \end{cases}$ 聯立求解可得： - 由 $3p-2q=3$ 與 $3p+2q=-3$ 相加得 $6p=0 \implies p=0$，代回得 $q=-\dfrac{3}{2}$。 - 由 $3r-2s=2$ 與 $3r+2s=2$ 相加得 $6r=4 \implies r=\dfrac{2}{3}$，代回得 $s=0$。 故方陣 $M = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{2}{3} & 0 \end{bmatrix}$。 各選項分析如下： - $(1)$ 錯誤：鏡射變換之行列式值必為 $-1$，但本題中 $\det(M) = 0 \times 0 - (-\dfrac{3}{2}) \times \dfrac{2}{3} = 1$，故不是鏡射變換。 - $(2)$ 正確：由 $M A = B$ 且 $M B = C$ 可將兩方程式併成矩陣乘法： $$M \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B & C \end{bmatrix} \implies M \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$$ - $(3)$ 正確： $$M C = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{2}{3} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \end{bmatrix} = D$$ $$M D = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{2}{3} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = A$$ - $(4)$ 錯誤：行列式值 $\det(M) = 1$，而非 $-1$。 - $(5)$ 正確：計算 $M^2$ 可得： $$M^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{2}{3} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{2}{3} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$$ 故 $M^3 = M^2 M = (-I)M = -M$。 綜合上述，正確選項為 $(2)(3)(5)$。