首先求得動點 $A$ 與 $B$ 在第 $n$ 秒的位置 $a_n$ 與 $b_n$： - 點 $A$ 由原點出發往正向移動，每次移動距離公比為 $\dfrac{1}{2}$： $$a_n = 0 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$ - 點 $B$ 由 $8$ 出發往負向移動，每次移動距離公比為 $\dfrac{1}{3}$： $$b_n = 8 - \left[ 4 + 4\left(\dfrac{1}{3}\right) + \dots + 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} \right] = 8 - \dfrac{4(1 - (1/3)^n)}{1 - 1/3} = 8 - 6\left(1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right) = 2 + 6\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$$ 中點 $c_n = \dfrac{a_n + b_n}{2}$： $$c_n = \dfrac{2 - 2(1/2)^n + 2 + 6(1/3)^n}{2} = 2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$$ 各選項分析如下： - $(1)$ 正確：$c_1 = 2 - \dfrac{1}{2} + 3\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{5}{2}$。 - $(2)$ 錯誤：$c_2 = 2 - \dfrac{1}{4} + 3\left(\dfrac{1}{9}\right) = 2 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{25}{12} \approx 2.08$，而 $c_1 = 2.5$，故 $c_2 < c_1$。 - $(3)$ 錯誤： $$c_{n+1} - c_n = \left[2 - (1/2)^{n+1} + 3(1/3)^{n+1}\right] - \left[2 - (1/2)^n + 3(1/3)^n\right] = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 2\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}$$ 含有兩個不同公比之底數，並非單一等比數列。 - $(4)$ 正確：當 $n \to \infty$ 時，$(1/2)^n \to 0$ 且 $(1/3)^n \to 0$，故 $\lim\limits_{n \to \infty} c_n = 2$。 - $(5)$ 錯誤：$c_{1000} = 2 - (1/2)^{1000} + 3(1/3)^{1000} = 2 - \left[ (1/2)^{1000} - 3(1/3)^{1000} \right]$。因為 $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}$，在 $n=1000$ 時 $(1/2)^{1000} \gg 3(1/3)^{1000}$，括號內之值必為正數，故 $c_{1000} < 2$。 綜合上述，正確選項為 $(1)(4)$。