設事件 $E$ 為「最初兩次的投擲中曾經出現過正面」，其餘事件 $E^c$ 為「最初兩次投擲皆為反面」。 $$P(E^c) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \implies P(E) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$$ 設事件 $F$ 為「$8$ 次投擲中恰好出現 $3$ 次正面」。 由條件機率公式，所求機率為 $P(F \mid E) = \dfrac{P(F \cap E)}{P(E)}$。 其中 $P(F \cap E) = P(F) - P(F \cap E^c)$。 - $P(F) = C^8_3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 = 56 \times \dfrac{1}{256} = \dfrac{56}{256}$ - $P(F \cap E^c)$ 代表前兩次皆為反面，且後六次恰好有 $3$ 次為正面： $$P(F \cap E^c) = C^6_3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 = 20 \times \dfrac{1}{256} = \dfrac{20}{256}$$ 故 $P(F \cap E) = \dfrac{56 - 20}{256} = \dfrac{36}{256}$。 計算條件機率： $$P(F \mid E) = \dfrac{36/256}{3/4} = \dfrac{36/256}{192/256} = \dfrac{36}{192} = \dfrac{3}{16}$$ 故答案為 $\dfrac{3}{16}$。