105指考數學甲選填第8題詳解

1. 設事件 $E$ 為「最初兩次投擲中曾經出現過正面」，事件 $F$ 為「$8$ 次投擲中恰好出現 $3$ 次正面」。所求為條件機率 $P(F\mid E)=\frac{P(F\cap E)}{P(E)}$。 2. 因為銅板均勻，所以每種投擲序列機率相等。先求 $P(E)$： 因為 $E^c$ 為「最初兩次皆為反面」，$P(E^c)=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以 $P(E)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。 3. 求 $P(F\cap E)$。因為 $P(F\cap E)=P(F)-P(F\cap E^c)$，其中： - $P(F)=C^8_3(\frac{1}{2})^8 = 56\cdot\frac{1}{256} = \frac{56}{256}$ - $P(F\cap E^c)$ 為「前兩次皆反面且後六次恰有 $3$ 次正面」：$P(F\cap E^c)=C^6_3(\frac{1}{2})^8 = 20\cdot\frac{1}{256} = \frac{20}{256}$ 所以 $P(F\cap E)=\frac{56-20}{256}=\frac{36}{256}$。 4. 計算條件機率： $$P(F\mid E) = \frac{\frac{36}{256}}{\frac{3}{4}} = \frac{36}{256}\cdot\frac{4}{3} = \frac{36}{192} = \frac{3}{16}$$ 故填 $\frac{3}{16}$。