設 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} = (1,2,3)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (1,0, -1)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{w} = (x, y, z)$ 為空間中三個向量，且向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 與向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 平行。若行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = -12$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} = ($ ____ , ____ , ____ $)$。
詳解
首先計算向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的外積：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v} = \begin{vmatrix} \overset{\large\rightharpoonup}{i} & \overset{\large\rightharpoonup}{j} & \overset{\large\rightharpoonup}{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (2(-1)-0, -(1(-1)-3), 0-2) = (-2, 4, -2)$$
因為向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} = (x, y, z)$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 平行，可設 $\overset{\large\rightharpoonup}{w} = t(-2, 4, -2) = (-2t, 4t, -2t)$，其中 $t$ 為實數。
將其代入行列式中：
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2t & 4t & -2t \end{vmatrix} = -12$$
按第三行進行拉普拉斯展開：
$$-2t \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 4t \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 2t \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -12$$
$$-2t(-2) - 4t(-4) - 2t(-2) = -12$$
$$4t + 16t + 4t = -12 \implies 24t = -12 \implies t = -\dfrac{1}{2}$$
因此向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{w}$ 為：
$$\overset{\large\rightharpoonup}{w} = -\dfrac{1}{2}(-2, 4, -2) = (1, -2, 1)$$
故答案為 $(1, -2, 1)$。