104指考數學甲選填第10題詳解

平行四邊形 $PQQ'P'$ 的面積為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} \times \overset{\large\rightharpoonup}{PP'}|$。 其中 $\overset{\large\rightharpoonup}{PP'} = (-3, 4, 6)$ 固定，$|\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}| = 7$ 也固定。 又 $P$、$Q$ 同在平面 $3x - 2y - 2z = 1$ 上，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 必垂直於平面法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (3, -2, -2)$。 要使 $|\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} \times \overset{\large\rightharpoonup}{PP'}|$ 最大，在 $|\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}|$ 固定的情況下，需要 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{PP'}$。 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 必須同時垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{PP'}$，方向平行於： $\overset{\large\rightharpoonup}{n} \times \overset{\large\rightharpoonup}{PP'} = (3,-2,-2) \times (-3,4,6)$ $$\begin{aligned} &= ((-2)(6)-(-2)(4),\; (-2)(-3)-(3)(6),\; (3)(4)-(-2)(-3)) \\[4pt] &= (-12+8,\; 6-18,\; 12-6) = (-4, -12, 6) \end{aligned}$$ 因為 $|(-4,-12,6)| = \sqrt{16+144+36} = \sqrt{196} = 14$，所以將此向量化為長度 $7$： $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = \pm \frac{7}{14}(-4,-12,6) = \pm (-2,-6,3)$。 即 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = \pm (2,6,-3)$（取反方向使分量為整數）。 因此答案為 $2, 6, -3$。