在邊長為 $2$ 的正立方體中，各頂點的坐標為： $E(0,0,0)$、$F(2,0,0)$、$H(0,2,0)$、$A(0,0,2)$、$G(2,2,0)$、$B(2,0,2)$、$D(0,2,2)$、$C(2,2,2)$。 四面體 $CBGD$ 由頂點 $C(2,2,2)$，以及與之相鄰的三個頂點 $B(2,0,2)$、$G(2,2,0)$、$D(0,2,2)$ 構成。其四個面為 $x=2$ ($CBG$)、 $y=2$ ($CGD$)、 $z=2$ ($CBD$)，以及斜平面 $x+y+z=4$ ($BGD$)。 四面體 $BAFC$ 由頂點 $B(2,0,2)$，以及與之相鄰的三個頂點 $A(0,0,2)$、$F(2,0,0)$、$C(2,2,2)$ 構成。其四個面為 $x=2$ ($BFC$)、 $y=0$ ($BAF$)、 $z=2$ ($BAC$)，以及斜平面 $x-y+z=2$ ($AFC$)。 相交區域 $\Omega$ 滿足以下範圍： $0 \le x \le 2$、 $0 \le y \le 2$、 $0 \le z \le 2$，且 $x+y+z \ge 4$， $x-y+z \ge 2$。 共同的頂點有 $B(2,0,2)$ 與 $C(2,2,2)$。 另外兩個頂點為斜面 $x+y+z=4$ 與 $x-y+z=2$ 的交線與立方體邊界的交點： - 與面 $z=2$ 的交點：由 $x+y=2$ 且 $x-y=0$ 解得 $P_1(1,1,2)$，選項 $(1)$ 正確。 - 與面 $x=2$ 的交點：由 $y+z=2$ 且 $-y+z=0$ 解得 $P_2(2,1,1)$。 因此，$\Omega$ 是一個四面體，其四個頂點為 $B(2,0,2)$、 $C(2,2,2)$、 $P_1(1,1,2)$、 $P_2(2,1,1)$。 各選項分析如下： (1) 正確，$\Omega$ 有一頂點坐標為 $P_1(1,1,2)$。 (2) 稜線 $P_1P_2$ 的方向向量為 $P_2 - P_1 = (2-1, 1-1, 1-2) = (1, 0, -1)$，故選項 $(2)$ 正確。 (3) 側面 $BCP_1$ 在平面 $z=2$ 上（法向量為 $(0,0,1)$），側面 $BCP_2$ 在平面 $x=2$ 上（法向量為 $(1,0,0)$），這兩個側面法向量內積為 $0$，因此互相垂直，故選項 $(3)$ 正確。 (4) 計算各邊長： - $BC = 2$ - $BP_1 = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$ - $BP_2 = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ - $CP_1 = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}$ - $CP_2 = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ - $P_1P_2 = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$ 四個側面中，$BP_1P_2$ 與 $CP_1P_2$ 的三邊長皆為 $\sqrt{2}$，都是正三角形。因此有兩個側面是正三角形，故選項 $(4)$ 錯誤。 (5) 向量 $v_1 = C - B = (0, 2, 0)$， $v_2 = P_1 - B = (-1, 1, 0)$， $v_3 = P_2 - B = (0, 1, -1)$。 體積為 $\dfrac{1}{6} |(0,2,0) \cdot ((-1,1,0) \times (0,1,-1))| = \dfrac{1}{6} |(0,2,0) \cdot (-1,-1,-1)| = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$，故選項 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)(3)$。