分析 $f'(x)$ 與 $f''(x)$ 在各區間的正負號： - 導數 $f'(x)$：當 $x < 4$ 時，$f'(x) < 0$；當 $x > 4$ 時，$f'(x) > 0$。因此 $f(x)$ 在 $(-\infty, 4)$ 為遞減，在 $(4, \infty)$ 為遞增，所以在 $x = 4$ 時有全域最小值，選項 $(2)$ 正確。 - 二階導數 $f''(x)$ 的正負號變化為：在 $x = 0$ 左側為正，右側為負；在 $x = 1$ 左側為負，右側為正。因此在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 這兩個地方二階導數皆發生變號，所以有兩個反曲點，選項 $(3)$ 錯誤。 各選項分析如下： (1) 在區間 $1 < x < 4$ 內，$f''(x) > 0$，代表導函數 $f'(x)$ 在此區間為遞增。因為 $2 < 3$，所以 $f'(2) < f'(3)$，故選項 $(1)$ 錯誤。 (4) 由於 $f''(x)$ 有至少兩個相異的實根（即 $x=0, 1$ 變號處），所以 $f''(x)$ 的次數至少為 $2$。因此 $f(x)$ 的次數 $n$ 至少為 $4$，不可能是 $3$，故選項 $(4)$ 錯誤。 (5) 因為當 $x > 4$ 時 $f'(x) > 0$，且 $f(x)$ 是多項式，當 $x \to \infty$ 時 $f'(x) \to \infty$，所以導函數 $f'(x)$ 的最高次項係數必為正，從而 $f(x)$ 的最高次項係數亦必為正，故選項 $(5)$ 正確。 故選 $(2)(5)$。