114分科測驗數學甲多選第7題詳解

由 $f'(x)$ 的圖形特徵（極值位置與符號變化）可推得： $(1)$ $f(1)$ 與 $f(3)$ 的大小不由局部極值直接決定， 因為 $f(1)$ 為局部極小值、$f(3)$ 為局部極大值， 但兩者之間 $f'(x)$ 的變化和累積增量未知，不一定 $f(1)>f(3)$，錯誤。 $(2)$ 因為 $f'$ 在 $x=1$ 右側為正、在 $x=2$ 左側為負， 可取 $1<a<b<2$ 使 $f'(a)>0$、$f'(b)<0$， 即 $f'(a)>f'(b)$，正確。 $(3)$ $x=3$ 為局部極大值點，僅保證 $f'(3)=0$ 且 $f'$ 由正轉負， 不能保證 $f''(3)>0$（凹向上的條件），錯誤。 $(4)$ 因為 $x=5$ 右側 $f'$ 為負（函數遞減）， 但 $f'(x)$ 的最高次項係數為正（從圖形可知次數為偶次且首項係數為正）， 所以 $x$ 足夠大時 $f'(x)>0$，由介值定理存在 $c>5$ 使 $f'(c)>0$，正確。 $(5)$ 從 $f'$ 的圖形可看出 $f'(x)=0$ 至少有 $7$ 個相異實根（含重根）， 所以 $\deg f'\ge 7$，故 $\deg f\ge 8$，正確。 故選 $(2)(4)(5)$。