114分科測驗數學甲多選第8題詳解

因為 $|z|=2$ 且虛部不為 $0$，令 $z=2(\cos t+i\sin t)$，其中 $\sin t\neq 0$。 因為 $1,z,z^3$ 共線，所以 $\frac{z^3-1}{z-1}$ 為實數。 $$\frac{z^3-1}{z-1}=z^2+z+1,$$ 其虛部為 $\operatorname{Im}(z^2+z+1)=0$。 $$z^2+z+1=4(\cos 2t+i\sin 2t)+2(\cos t+i\sin t)+1,$$ 虛部：$4\sin 2t+2\sin t=8\sin t\cos t+2\sin t=2\sin t(4\cos t+1)=0$。 因為 $\sin t\neq 0$，所以 $\cos t=-\frac{1}{4}$。 $(1)$ $z\cdot\bar z=|z|^2=4\neq 2$，錯誤。 $(2)$ $\frac{z^3-z}{z-1}=z^2+z$， 其虛部 $4\sin 2t+2\sin t=2\sin t(4\cos t+1)=0$，正確。 $(3)$ $\operatorname{Re}z=2\cos t=2\cdot\bigl(-\frac{1}{4}\bigr)=-\frac{1}{2}$，正確。 $(4)$ 由 $\operatorname{Re}z=-\frac{1}{2}$、$|z|=2$ 得 $z$ 滿足 $z^2+z+4=0$， 而非 $z^2-z+4=0$，錯誤。 $(5)$ 因為 $z^2+2=-(z+2)$，所以 $-2,z,z^2$ 的坐標成比例關係， 三點共線，正確。 故選 $(2)(3)(5)$。