114 分科測驗數學甲第 9 題

Question

令 $A$ 為以原點為中心逆時針旋轉 $	heta$ 角的旋轉矩陣，$B$ 為以 $x$ 軸為鏡射軸的鏡射矩陣。令 $A=\begin{bmatrix}a_1 & a_2\a_3 & a_4\end{bmatrix}$、$BA=\begin{bmatrix}c_1 & c_2\c_3 & c_4\end{bmatrix}$。已知 $a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)$，則 $	an	heta=\underline{\hspace{2.4em}}$。

Accepted Answer

答案：$-\dfrac{1}{2}$
$A=\begin{bmatrix}\cos	heta & -\sin	heta\\sin	heta & \cos	heta\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}\cos	heta & -\sin	heta\-\sin	heta & -\cos	heta\end{bmatrix}$。由元素和得 $2\cos	heta=2(-2\sin	heta)$，所以 $	an	heta=-\dfrac12$。