114_02A_q19
114 學測數學A 第 19 題
📅 114 年 📝 學測數學A 第 19 題 題型:非選 課綱:108課綱
題組
已知 $A=\begin{bmatrix}a_1 & a_2\\a_3 & a_4\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}b_1 & b_2\\b_3 & b_4\end{bmatrix}$ 皆為坐標平面上以原點 $O$ 為中心,逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣,且滿足 $A^2=B^3=\begin{bmatrix}0 & c\\1 & d\end{bmatrix}$,其中 $c,d$ 為實數。設點 $P(1,1)$ 經 $A^3$ 變換後為點 $Q$,且點 $Q$ 經 $B^4$ 變換後為點 $R$。根據上述,試回答下列問題。
試求點 $Q$ 的坐標,以及 $\overset{\large\rightharpoonup}{OR}$ 與向量 $(1,0)$ 的夾角。(非選擇題,$6$ 分)
旋轉矩陣矩陣平面上的坐標變換行列式、矩陣與應用
解題手法數形結合〔AI 推測〕
答案

$Q=(-\sqrt{2},0)$;夾角為 $60^\circ$

詳解
由前題,$A^2$ 是旋轉 $90^\circ$,且 $A$ 是銳角旋轉,所以 $A$ 是旋轉 $45^\circ$;$B^3$ 是旋轉 $90^\circ$,且 $B$ 是銳角旋轉,所以 $B$ 是旋轉 $30^\circ$。點 $P(1,1)$ 的長度為 $\sqrt2$、方向角為 $45^\circ$。經 $A^3$ 旋轉 $135^\circ$ 後方向角為 $180^\circ$,故 $Q=(-\sqrt2,0)$。再經 $B^4$ 旋轉 $120^\circ$,$R$ 的方向角為 $300^\circ$,所以 $\overline{OR}$ 與 $(1,0)$ 的夾角為 $60^\circ$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。