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114_02A_q20
114 學測數學A 第 20 題
📅 114 年 📝 學測數學A 第 20 題 題型：非選 課綱：108課綱
題組
已知 $A=\begin{bmatrix}a_1 & a_2\\a_3 & a_4\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}b_1 & b_2\\b_3 & b_4\end{bmatrix}$ 皆為坐標平面上以原點 $O$ 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 $A^2=B^3=\begin{bmatrix}0 & c\\1 & d\end{bmatrix}$，其中 $c,d$ 為實數。設點 $P(1,1)$ 經 $A^3$ 變換後為點 $Q$，且點 $Q$ 經 $B^4$ 變換後為點 $R$。根據上述，試回答下列問題。
設 $L$ 為過點 $P$ 且與直線 $OQ$ 平行的直線，點 $S$ 為 $L$ 和直線 $OR$ 的交點，試求 $\angle OSP$，並求點 $S$ 的坐標。（非選擇題，$6$ 分）
旋轉矩陣直線矩陣平面上的坐標變換坐標幾何行列式、矩陣與應用
解題手法坐標化〔AI 推測〕
答案

$\angle OSP=60^\circ$；$S=(-\dfrac{\sqrt3}{3},1)$

詳解
由第 $19$ 題，$Q=(-\sqrt2,0)$，所以直線 $OQ$ 為 $x$ 軸，過 $P(1,1)$ 且與 $OQ$ 平行的直線為 $L:y=1$。又 $OR$ 的方向角為 $300^\circ$，斜率為 $-\sqrt3$，故直線 $OR$ 為 $y=-\sqrt3x$。與 $y=1$ 相交得 $S=\left(-\dfrac{\sqrt3}{3},1\right)$。向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{SP}$ 水平向右，$\overset{\large\rightharpoonup}{SO}=\left(\dfrac{\sqrt3}{3},-1\right)$，故 $\angle OSP=60^\circ$。

題目來源：大學入學考試中心公開試題。

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。

來源：學測數學A · 題號 20 · schema 1.0.0

建置時間：2026-06-27 16:14