114學測數學A非選第20題詳解

承第 $19$ 題，已知 $Q=(-\sqrt{2},0)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{OR}$ 的方向角為 $300^\circ$。 因為直線 $\overline{OQ}$ 通過 $O(0,0)$ 和 $Q(-\sqrt{2},0)$，為 $x$ 軸（水平線），所以過 $P(1,1)$ 且與 $\overline{OQ}$ 平行的直線 $L$ 為水平線 $y=1$。 因為直線 $\overline{OR}$ 的方向角為 $300^\circ$，斜率 $\tan300^\circ=-\sqrt{3}$，通過原點，所以方程式為 $y=-\sqrt{3}x$。 $L$ 與 $\overline{OR}$ 的交點 $S$：將 $y=1$ 代入 $y=-\sqrt{3}x$，得 $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。因此 $S=(-\frac{\sqrt{3}}{3},1)$。 求 $\angle OSP$：向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{SP}=P-S=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3},0\right)$，方向為水平向右；向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{SO}=O-S=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},-1\right)$，方向角為 $300^\circ$。因此 $\angle OSP$ 是方向角 $0^\circ$ 與 $300^\circ$ 兩射線的較小夾角，為 $360^\circ-300^\circ=60^\circ$。