112 分科測驗數學甲第 16 題

112_0XA_q16

112 分科測驗數學甲第 16 題

📅 112 年 📝 分科測驗數學甲第 16 題題型：非選課綱：108課綱

題組

坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0<\theta<\pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma^{\prime}:40x^2+4\sqrt5xy+41y^2=180$，點 $(-\dfrac53,\dfrac{2\sqrt5}{3})$ 為 $\Gamma^{\prime}$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。

試求 $\Gamma^{\prime}$ 短軸所在的直線方程式與短軸長。

坐標幾何平面上的坐標變換圓與直線

解題手法坐標化〔AI 推測〕

答案

$y=\dfrac{\sqrt5}{2}x$，短軸長 $4$

詳解

長軸斜率為 $-\dfrac{2\sqrt5}{5}$，故短軸所在直線為 $y=\dfrac{\sqrt5}{2}x$。短半軸為 $2$，短軸長為 $4$。

題目來源：大學入學考試中心公開試題。

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。