112分科測驗數學甲非選第16題詳解

1. 求短軸所在的直線方程式： 由第 $15$ 題可知，長軸通過點$\left(-\frac{5}{3},\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$，長軸所在直線的斜率為 $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 因為短軸與長軸垂直，且橢圓中心在原點，所以短軸所在直線為 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$。 2. 求短軸長： 將 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$ 代入 $\Gamma'$ 的方程式 $40x^2+4\sqrt{5}xy+41y^2=180$， 得到短軸上頂點的坐標，其到原點距離為半短軸長 $2$。 因此短軸長為 $2\times2=4$。