112分科測驗數學甲非選第17題詳解

1. 由第 $15$ 題，$\Gamma$（旋轉前）的長軸在 $y$ 軸上，半長軸長為 $\sqrt{5}$，半短軸長為 $2$，所以 $\Gamma$ 的標準式為 $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=1.$$ 2. 旋轉角 $\theta$ 滿足 $$\sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3},\;\cos\theta=\frac{2}{3}.$$ 3. 因為 $P'$ 在 $x$ 軸上，所以可設 $P'=(a,0)$ 且 $a>0$。代入 $\Gamma'$ 方程式： $$40a^2=180\implies a^2=\frac{9}{2}\implies a=\frac{3}{\sqrt{2}}.$$ 4. 將 $P'$ 逆旋轉 $-\theta$ 回到 $P$： 旋轉矩陣為 $R=\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\[4pt]\frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$， 其逆矩陣為 $R^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} \\[4pt]-\frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$。 $$\begin{aligned} P&=R^{-1}P' =\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} \\[4pt]-\frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}} \\[4pt] 0\end{bmatrix} \\[4pt] &=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}} \\[4pt]-\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\sqrt{2} \\[4pt] -\frac{\sqrt{10}}{2}\end{bmatrix}. \end{aligned}$$ 因此 $P$ 點坐標為 $(\sqrt{2},-\frac{\sqrt{10}}{2})$。