112分科測驗數學甲非選第12題詳解

(1) 求 $a,b$： 因為點 $P(1,\frac12)$ 在 $f(x)=ax^2$ 上，所以 $\frac12=a\cdot1^2$，得 $a=\frac12$。 點 $P$ 也在圓 $\Omega$ 上：$1^2+(\frac12)^2-3\cdot\frac12+b=0$， $1+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+b=0\implies b=\frac{1}{4}$。 (2) 求圓心 $C$： 將 $x^2+y^2-3y+\frac{1}{4}=0$ 配方： $$x^2+(y-\frac{3}{2})^2=2,$$ 所以圓心 $C=(0,\frac{3}{2})$，半徑 $\sqrt{2}$。 (3) 計算 $\overset{\large\rightharpoonup}{CO}$ 與$\overset{\large\rightharpoonup}{CP}$ 夾角的餘弦值： $$\overset{\large\rightharpoonup}{CO}=(0,0)-(0,\frac{3}{2})=(0,-\frac{3}{2}),$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{CP}=(1,\frac12)-(0,\frac{3}{2})=(1,-1).$$ 所以 $$\begin{aligned} \cos\angle(\overset{\large\rightharpoonup}{CO},\overset{\large\rightharpoonup}{CP})&=\frac{(0,-\frac{3}{2})\cdot(1,-1)}{\frac{3}{2}\cdot\sqrt{2}} \\[4pt] &=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}$$