110 指考數學乙第 11 題

Question

一、坐標平面上有兩點 $A(-3,4)$，$B(3,2)$ 及一條直線 $L$。已知 $A$、$B$ 兩點在直線 $L$ 的兩側且 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}=(4,-3)$ 是直線 $L$ 的法向量。設 $A$ 點到直線 $L$ 的距離為 $B$ 點到直線 $L$ 的距離的 $5$ 倍。根據上述，試回答下列問題。
$(1)$ 試求向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 與向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 的內積。（$4$ 分）
$(2)$ 試求直線 $L$ 的方程式。（$4$ 分）
$(3)$ 設 $P$ 點在直線 $L$ 上且 $\overline{PA}=\overline{PB}$，試求 $P$ 點坐標。（$4$ 分）

Accepted Answer

答案：$(1)\ 30;\ (2)\ 4x-3y-1=0;\ (3)\ (-2,-3)$
$(1)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(6,-2)$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{n}=(6,-2)\cdot(4,-3)=30$。$(2)$ 設 $L:4x-3y+k=0$。由距離關係與兩點異側，$|k-24|=5|k+6|$ 且符號相反，得 $k=-1$，故 $L:4x-3y-1=0$。$(3)$ $\overline{PA}=\overline{PB}$ 表示 $P$ 在 $\overline{AB}$ 的垂直平分線 …