96學測數學多選第7題詳解

中垂線 $L$ 的方程式為 $3x - 4y = 0$，其法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (3, -4)$，方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (4, 3)$。 (1) 因為 $L$ 為線段 $PQ$ 的中垂線，故向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 與 $L$ 垂直。因此，$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ}$ 與 $L$ 的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (3, -4)$ 平行，此選項正確。 (2) $P(s, t)$ 到中垂線 $L$ 的距離為： $$d(P, L) = \dfrac{|3s - 4t|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|3s - 4t|}{5}$$ 因為 $L$ 為 $PQ$ 的中垂線，故線段 $PQ$ 的長度為 $P$ 到 $L$ 距離的兩倍： $$PQ = 2 d(P, L) = \dfrac{2|3s - 4t|}{5} = \dfrac{|6s - 8t|}{5}$$ 此選項正確。 (3) 若 $Q$ 點為 $(t, s)$，則 $PQ$ 的中點為 $M\left(\dfrac{s+t}{2}, \dfrac{s+t}{2}\right)$。將 $M$ 代入 $L$ 方程式得 $3\left(\dfrac{s+t}{2}\right) - 4\left(\dfrac{s+t}{2}\right) = -\dfrac{s+t}{2}$。除非 $s+t=0$，否則中點不在 $L$ 上，此選項錯誤。 (4) 設過 $Q$ 點且與 $L$ 平行的直線為 $L_Q$。因為 $L_Q \parallel L$，其方程式可設為 $3x - 4y = C$。 設 $PQ$ 的中點為 $M$。因為 $M$ 落在 $L$ 上，滿足 $3x_M - 4y_M = 0$。 又 $M = \dfrac{P + Q}{2} \implies Q = 2M - P$。 將 $Q$ 代入 $L_Q$ 得： $$C = 3x_Q - 4y_Q = 3(2x_M - s) - 4(2y_M - t) = 2(3x_M - 4y_M) - (3s - 4t) = -3s + 4t$$ 因此 $L_Q$ 的方程式為 $3x - 4y = -3s + 4t$。 將點 $(-s, -t)$ 代入 $L_Q$ 的左式得： $$3(-s) - 4(-t) = -3s + 4t$$ 與右式相等，故 $L_Q$ 必通過點 $(-s, -t)$，此選項正確。 (5) 設 $PQ$ 的中點為 $M$。因為 $P$ 與 $Q$ 關於 $L$ 對稱，且 $L$ 通過原點 $O(0,0)$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OM}$ 就是 $M$ 的位置向量，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{OM}$ 落在 $L$ 上。 因為 $PQ \perp L$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OM} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{PQ} \implies \overset{\large\rightharpoonup}{OM} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = 0$。 又 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} + \overset{\large\rightharpoonup}{OQ} = 2\overset{\large\rightharpoonup}{OM}$，故： $$\left(\overset{\large\rightharpoonup}{OP} + \overset{\large\rightharpoonup}{OQ}\right) \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = 2\overset{\large\rightharpoonup}{OM} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PQ} = 0$$ 此選項正確。 故正確選項為 $(1)(2)(4)(5)$。