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96 學測數學 第 6 題
📅 96 年 📝 學測數學 第 6 題 題型:多選 課綱:99課綱
若 $\Gamma = \{ z \mid |z - 1| = 1 \}$,其中 $z$ 為複數,則下列哪些點會落在圖形 $\Omega = \{ w \mid w = i z, z \in \Gamma \}$ 上?
  1. $2i$
  2. $-2i$
  3. $1+i$
  4. $1-i$
  5. $-1+i$
複數的幾何表示複數平面上的圓方程式複數的乘法與幾何變換複數與應用複數平面與應用
解題手法公式代入〔AI 推測〕
答案

$(1)(3)(5)$

詳解
由 $w = i z \implies z = \dfrac{w}{i} = -i w$。 將其代入 $\Gamma$ 的條件 $|z - 1| = 1$ 中,得: $$|-i w - 1| = 1$$ 兩邊同乘 $|-i| = 1$(或提取 $-i$): $$|-i(w - i)| = 1 \implies |w - i| = 1$$ 這表示 $\Omega$ 是以 $i$ 為圓心、半徑為 $1$ 的圓。我們逐一檢驗選項中各點 $w$ 是否滿足 $|w - i| = 1$: (1) 當 $w = 2i$ 時,$|2i - i| = |i| = 1$,此點在 $\Omega$ 上。 (2) 當 $w = -2i$ 時,$|-2i - i| = |-3i| = 3 \ne 1$,此點不在 $\Omega$ 上。 (3) 當 $w = 1+i$ 時,$|1+i - i| = |1| = 1$,此點在 $\Omega$ 上。 (4) 當 $w = 1-i$ 時,$|1-i - i| = |1-2i| = \sqrt{5} \ne 1$,此點不在 $\Omega$ 上。 (5) 當 $w = -1+i$ 時,$|-1+i - i| = |-1| = 1$,此點在 $\Omega$ 上。 故正確選項為 $(1)(3)(5)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。