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096_02M_q06
96 學測數學 第 6 題
📅 96 年
📝 學測數學
第 6 題
題型:多選
課綱:99課綱
若 $\Gamma = \{ z \mid |z - 1| = 1 \}$,其中 $z$ 為複數,則下列哪些點會落在圖形 $\Omega = \{ w \mid w = i z, z \in \Gamma \}$ 上?
$2i$
$-2i$
$1+i$
$1-i$
$-1+i$
複數的幾何表示
複數平面上的圓方程式
複數的乘法與幾何變換
複數與應用
複數平面與應用
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$(1)(3)(5)$
詳解
由 $w = i z \implies z = \dfrac{w}{i} = -i w$。 將其代入 $\Gamma$ 的條件 $|z - 1| = 1$ 中,得: $$|-i w - 1| = 1$$ 兩邊同乘 $|-i| = 1$(或提取 $-i$): $$|-i(w - i)| = 1 \implies |w - i| = 1$$ 這表示 $\Omega$ 是以 $i$ 為圓心、半徑為 $1$ 的圓。我們逐一檢驗選項中各點 $w$ 是否滿足 $|w - i| = 1$: (1) 當 $w = 2i$ 時,$|2i - i| = |i| = 1$,此點在 $\Omega$ 上。 (2) 當 $w = -2i$ 時,$|-2i - i| = |-3i| = 3 \ne 1$,此點不在 $\Omega$ 上。 (3) 當 $w = 1+i$ 時,$|1+i - i| = |1| = 1$,此點在 $\Omega$ 上。 (4) 當 $w = 1-i$ 時,$|1-i - i| = |1-2i| = \sqrt{5} \ne 1$,此點不在 $\Omega$ 上。 (5) 當 $w = -1+i$ 時,$|-1+i - i| = |-1| = 1$,此點在 $\Omega$ 上。 故正確選項為 $(1)(3)(5)$。
題目來源:
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態:
本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。