目標矩陣為 $M = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$，其列秩 (row rank) 為 $3$。 經過列還原可求得 $M$ 的列簡化梯形矩陣 (RREF) 為： $$R_1 - 2 R_2 \to (1, 0, 1, 3)$$ $$(1, 0, 1, 3) - R_3 \to (1, 0, 0, 2)$$ $$R_2 - R_3 \to (0, 1, 0, 1)$$ 即 $\text{RREF}(M) = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$。 兩個矩陣互為列等價，當且僅當它們的 RREF 相同。我們可以用此性質檢驗各選項： (1) 矩陣第三列為 $(0, 2, 3, 5)$。因為 $(0, 2, 3, 5) - 2(0, 1, 1, 2) = (0, 0, 1, 1)$，故此列可化為 $(0, 0, 1, 1)$，與目標矩陣等價，此選項正確。 (2) 該矩陣第四列均為 $0$。對任何第四列為 $0$ 的矩陣進行列運算後，第四列仍必為 $0$，無法化成第四列不全為 $0$ 的目標矩陣，此選項錯誤。 (3) 該矩陣第一列與第三列相同皆為 $(1, 1, 2, 5)$，故其列秩最大為 $2$。而目標矩陣的列秩為 $3$。列運算不改變矩陣的秩，故此矩陣無法化為目標矩陣，此選項錯誤。 (4) 矩陣第二列為 $(-1, 1, 1, 0)$，第三列為 $(-2, 2, 2, 1)$。 將第三列減去第二列的兩倍：$(-2, 2, 2, 1) - 2(-1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 1)$。 此列向量代表第四個變數的係數，但目標矩陣 RREF 中第三列的 pivot 在第三個位置（即 $(0, 0, 1, 1)$），因此兩者列不等價，此選項錯誤。 (5) 矩陣第三列為 $(0, 1, 0, 1)$。 將第二列減去第三列：$(0, 1, 1, 2) - (0, 1, 0, 1) = (0, 0, 1, 1)$，可得到目標矩陣的第三列。 再將第一列 $(1, 3, 2, 7)$ 減去第二列且加上兩倍的 $(0, 0, 1, 1)$： $$(1, 3, 2, 7) - (0, 1, 1, 2) + 2(0, 0, 1, 1) = (1, 2, 1, 5) + (0, 0, 2, 2) = (1, 2, 3, 7)$$ 即可完全化為目標矩陣的每一列，此選項正確。 故正確選項為 $(1)(5)$。