101學測數學多選第11題詳解

第二組方程組 $$\begin{cases} -3x + by = d \\ x - 4y = 3 \end{cases}$$ 無解，表示兩直線平行但不重合。因此係數需成比例： $$\frac{-3}{1}=\frac{b}{-4} \implies b=12,$$ 且常數項不能同時成相同比例，所以 $$\frac{d}{3} e -3 \implies d e -9.$$ 故選項 $(3)$、$(4)$ 一定正確。 因為上述推導，所以第一組方程組 $$\begin{cases} ax+8y=c \\ x-4y=3 \end{cases}$$ 有解。若 $a e -2$，兩直線相交，有唯一解；若 $a=-2$，則必須 $c=-6$，兩直線才會重合。因此 $a$ 不一定等於 $-2$，$c$ 也不一定等於 $-6$，故選項 $(1)$、$(2)$ 不一定正確。 再看選項 $(5)$： $$\begin{cases} ax+8y=c \\ -3x+12y=d \end{cases}$$ 雖然已知 $b=12$，但 $a$ 不一定等於 $-2$。例如可取 $a=0$，第一組仍有解；此時選項 $(5)$ 的兩式係數不平行，聯立方程組有唯一解。因此選項 $(5)$ 不一定無解。 綜合可得，正確選項為 $(3)(4)$。