設 $z = r_1(\cos \theta + i \sin \theta) = r_1 e^{i\theta}$，其中 $r_1 > 0$。 因為 $\angle AOB = 90^\circ$，複數 $w$ 與 $z$ 的輻角相差 $\pm 90^\circ$，可設： $$w = r_2 e^{i(\theta \pm \frac{\pi}{2})}$$ 其中 $r_2 > 0$。 我們對各選項進行分析： 1. $\dfrac{z}{w} = \dfrac{r_1 e^{i\theta}}{r_2 e^{i(\theta \pm \frac{\pi}{2})}} = \dfrac{r_1}{r_2} e^{\mp i \frac{\pi}{2}} = \mp \dfrac{r_1}{r_2} i$，此為純虛數。 2. $zw = r_1 r_2 e^{i(2\theta \pm \frac{\pi}{2})}$，其實部與虛部取決於 $\theta$，不一定為實數。 3. $(zw)^2 = r_1^2 r_2^2 e^{i(4\theta \pm \pi)}$，亦取決於 $\theta$，不一定為負實數。 4. $\dfrac{z^2}{w^2} = \left(\dfrac{z}{w}\right)^2 = \left(\mp \dfrac{r_1}{r_2} i\right)^2 = -\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$，因為 $r_1, r_2 > 0$，故此值必為負實數。故選 $(4)$。 5. 令 $\bar{w}$ 為 $w$ 的共軛複數，$\bar{w} = r_2 e^{-i(\theta \pm \frac{\pi}{2})}$。 $$z \bar{w} = r_1 e^{i\theta} \cdot r_2 e^{-i(\theta \pm \frac{\pi}{2})} = r_1 r_2 e^{\mp i \frac{\pi}{2}} = \mp r_1 r_2 i$$ 此值為純虛數，因此 $(z \bar{w})^2 = (\mp r_1 r_2 i)^2 = -r_1^2 r_2^2$，必為負實數。故選 $(5)$。