101學測數學多選第10題詳解

1. 設 $z = r_1(\cos\theta + i\sin\theta)$，$w = r_2(\cos\phi + i\sin\phi)$。因為 $\angle AOB = 90^\circ$，所以 $\phi = \theta \pm 90^\circ$。 2. 計算各選項： - $\frac{z}{w} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\pm 90^\circ) + i\sin(\pm 90^\circ)) = \pm i\frac{r_1}{r_2}$，為純虛數。 - $\left(\frac{z}{w}\right)^2 = \left(\pm i\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = -\frac{r_1^2}{r_2^2}$，為負實數。$(4)$ 正確。 - $z\bar{w} = r_1 r_2(\cos(\pm 90^\circ) + i\sin(\pm 90^\circ)) = \pm i\, r_1 r_2$，為純虛數。 - $(z\bar{w})^2 = (\pm i\, r_1 r_2)^2 = -r_1^2 r_2^2$，為負實數。$(5)$ 正確。 - 其餘選項（$\frac{z^2}{w^2}$、$z^2\bar{w}^2$ 等）不保證為負實數。 故選 $(4)(5)$。