109指考數學甲補考多選第5題詳解

令 $z = \cos\frac{\pi}{7} + i\sin\frac{\pi}{7}$，則 $\arg z = \frac{\pi}{7}$。 因為兩複數相乘時輻角相加，所以 $z \cdot w$ 為實數的充要條件為 $\arg z + \arg w = 0$ 或 $\pi$（即乘積的輻角為 $\pi$ 的整數倍）。 選項 $(1)$：錯誤。 因為 $w = \cos\frac{\pi}{7} + i\sin\frac{\pi}{7}$ 的輻角為 $\frac{\pi}{7}$，所以乘積輻角為 $\frac{\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{7}$，不是 $\pi$ 的整數倍，故乘積不為實數。 選項 $(2)$：正確。 因為 $w = \cos\frac{\pi}{7} - i\sin\frac{\pi}{7} = \cos\left(-\frac{\pi}{7}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)$ 的輻角為 $-\frac{\pi}{7}$，所以乘積輻角為 $\frac{\pi}{7} + \left(-\frac{\pi}{7}\right) = 0$，故乘積為實數。 選項 $(3)$：正確。 因為 $-\sin\alpha + i\cos\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$，所以 $w = -\sin\frac{5\pi}{14} + i\cos\frac{5\pi}{14} = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{14}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{14}\right) = \cos\frac{6\pi}{7} + i\sin\frac{6\pi}{7}$，輻角為 $\frac{6\pi}{7}$。乘積輻角為 $\frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = \pi$，故乘積為實數。 選項 $(4)$：錯誤。 因為 $\sin\alpha + i\cos\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$，所以 $w = \sin\frac{\pi}{7} + i\cos\frac{\pi}{7} = \cos\frac{5\pi}{14} + i\sin\frac{5\pi}{14}$，輻角為 $\frac{5\pi}{14}$。乘積輻角為 $\frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} = \frac{\pi}{2}$，不是 $\pi$ 的整數倍，故乘積不為實數。 選項 $(5)$：錯誤。 因為 $w = \sin\frac{\pi}{7} - i\cos\frac{\pi}{7} = \cos\frac{5\pi}{14} - i\sin\frac{5\pi}{14} = \cos\left(-\frac{5\pi}{14}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{14}\right)$，輻角為 $-\frac{5\pi}{14}$。乘積輻角為 $\frac{\pi}{7} + \left(-\frac{5\pi}{14}\right) = -\frac{3\pi}{14}$，不是 $\pi$ 的整數倍，故乘積不為實數。 故選 $(2)(3)$。