令 $z = \cos \frac{\pi}{7} + i \sin \frac{\pi}{7} = e^{i\pi/7}$。欲使 $z \cdot w$ 為實數，則 $\arg(z) + \arg(w)$ 必須是 $\pi$ 的整數倍。 $\arg(z) = \frac{\pi}{7}$。 (1) $w = \cos \frac{\pi}{7} + i \sin \frac{\pi}{7} \implies \arg(w) = \frac{\pi}{7}$，$\arg(zw) = \frac{2\pi}{7}$（非實數）。 (2) $w = \cos \frac{\pi}{7} - i \sin \frac{\pi}{7} = e^{-i\pi/7} \implies \arg(w) = -\frac{\pi}{7}$，$\arg(zw) = 0$（實數）。 (3) $w = -\sin \frac{5\pi}{14} + i \cos \frac{5\pi}{14} = -\cos (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) + i \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = -\cos \frac{\pi}{7} + i \sin \frac{\pi}{7} = \cos \frac{6\pi}{7} + i \sin \frac{6\pi}{7}$。 $\arg(w) = \frac{6\pi}{7}$，$\arg(zw) = \frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = \pi$（實數）。 (4) $w = \sin \frac{\pi}{7} + i \cos \frac{\pi}{7} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) + i \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cos \frac{5\pi}{14} + i \sin \frac{5\pi}{14}$。 $\arg(w) = \frac{5\pi}{14}$，$\arg(zw) = \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2}$（虛數）。 (5) $w = \sin \frac{\pi}{7} - i \cos \frac{\pi}{7}$。由 (4) 知其為 $-i \cdot (\cos \frac{\pi}{7} + i \sin \frac{\pi}{7})$ 之共軛？不，$(4)$ 的共軛是 $\sin \frac{\pi}{7} - i \cos \frac{\pi}{7}$。其輻角為 $-\frac{5\pi}{14}$，$\arg(zw) = \frac{2\pi}{14} - \frac{5\pi}{14} = -\frac{3\pi}{14}$（非實數）。 故選 $(2)(3)$。