持續投擲一枚公正骰子，在過程中若出現連續兩次點數的和為 7 時，就停止投擲。例如：若前兩次投擲分別出現點數 $1、4$，點數和不等於 $7$，所以繼續投擲；若第三次投出點數 $3$，因為第二次與第三次點數和為 $7$，所以此時即停止投擲。關於此機率事件，試選出正確的選項。
- 在第一次投擲的點數為 $6$ 的情況下，總共投擲兩次就停的機率為 $\frac{1}{6}$
- 總共投擲兩次就停止的機率為 $\frac{1}{6}$
- 在第一次投擲的點數為 $5$ 的情況下，總共投擲三次恰好停止的機率為 $\frac{1}{6}$
- 總共投擲三次恰好停止的機率大於 $\frac{1}{6}$
- 至少投擲三次才停止的機率為 $\frac{1}{2}$
詳解
(1) 正確。若第一次為 $6$，則第二次必須為 $1$ 才會停止，機率為 $\frac{1}{6}$。
(2) 正確。投擲兩次停止的組合為 $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$，共 $6$ 種，機率為 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
(3) 錯誤。若第一次為 $5$，則第二次不能是 $2$（否則第二次就停了），且第二次與第三次和為 $7$。第二次可為 $1,3,4,5,6$，對應第三次為 $6,4,3,2,1$，共 $5$ 種可能，機率為 $\frac{5}{36}$。
(4) 錯誤。投擲三次停止的機率為 $P(\text{第 } 2 \text{ 次沒停}) \times P(\text{第 } 3 \text{ 次停}) = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$，小於 $\frac{1}{6}$。
(5) 錯誤。至少投擲三次才停止的機率為 $1 - P(\text{第二次就停止}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。
故選 $(1)(2)$。