107指考數學甲多選第7題詳解

設 $\phi=\angle AOB$。因為 $|z_1|=2$、$|z_2|=3$、$|z_2-z_1|=\sqrt{5}$，所以由餘弦定理得 $$|z_2-z_1|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-2|z_1||z_2|\cos\phi$$ 即 $5=4+9-12\cos\phi$，解得 $\cos\phi=\frac{2}{3}$。因此選項 $(1)$ 正確。 計算 $|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2|\cos\phi=4+9+12\cdot\frac{2}{3}=21$，得 $|z_1+z_2|=\sqrt{21}\neq\sqrt{23}$。因此選項 $(2)$ 錯誤。 令 $z_1=2(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$、$z_2=3(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$，則 $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{3}{2}(\cos(\theta_2-\theta_1)+i\sin(\theta_2-\theta_1))=\frac{3}{2}(\cos\phi+i\sin\phi)$$ 所以 $a=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1>0$，選項 $(3)$ 正確。 $b=\frac{3}{2}\sin\phi$，因為 $\cos\phi=\frac{2}{3}$，所以 $\sin\phi=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$，$b$ 可正可負。因此選項 $(4)$ 錯誤。 點 $C$ 代表 $\frac{z_2}{z_1}$。因為整體旋轉 $z_1,z_2$ 不改變已知條件，所以可透過適當旋轉使 $\angle BOC=\frac{\pi}{2}$。因此選項 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(3)(5)$。