105指考數學甲選填第10題詳解

1. 設 $z=x+yi$，其中 $x,y$ 為實數。因為 $\bar{z}=x-yi$，所以： $$z-\bar{z} = (x+yi)-(x-yi)=2yi = -3i \implies y = -\frac{3}{2}$$ 所以在複數平面上，所有滿足條件的 $z$ 均落在直線 $y=-\frac{3}{2}$ 上（$x$ 可為任意實數）。 2. 因為 $|\sqrt{7}+8i-z| = |z-(\sqrt{7}+8i)|$ 表示點 $(x,-\frac{3}{2})$ 到定點 $P(\sqrt{7},8)$ 的距離，且 $x$ 可任意取值，所以最小值發生在 $x=\sqrt{7}$ 時，此時兩點的 $x$ 坐標相同，距離等於鉛直距離： 最小值為： $$|8-(-\frac{3}{2})| = 8+\frac{3}{2} = \frac{19}{2}$$ 故填 $\frac{19}{2}$。