111分科測驗數學甲選填第11題詳解

設 $z = \cos\theta + i\sin\theta$，其中 $z$ 在第一象限，所以 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$。 令 $w = \frac{-3+4i}{5} = \cos\phi + i\sin\phi$， 其中 $\cos\phi = -\frac{3}{5}$、$\sin\phi = \frac{4}{5}$（$\phi$ 在第二象限）。 已知 $|w-z^3| = |w-z|$。因為 $|z|=1$，所以 $|z^3|=1$。 兩邊平方： $$|w-z^3|^2 = |w-z|^2 \implies |w|^2+|z^3|^2-2\operatorname{Re}(\overline{w}z^3) = |w|^2+|z|^2-2\operatorname{Re}(\overline{w}z).$$ 因為 $|w|=|z|=|z^3|=1$，消去相同項得 $$\operatorname{Re}(\overline{w}z^3) = \operatorname{Re}(\overline{w}z).$$ 而 $\operatorname{Re}(\overline{w}z^k) = \cos(k\theta-\phi)$，所以 $$\cos(3\theta-\phi) = \cos(\theta-\phi).$$ 解得 $3\theta-\phi = \pm(\theta-\phi) + 2k\pi$： - $3\theta-\phi = \theta-\phi+2k\pi \implies \theta = k\pi$，不在第一象限內。 - $3\theta-\phi = -(\theta-\phi)+2k\pi \implies 4\theta = 2\phi+2k\pi$。 因為 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 且 $\frac{\pi}{2}<\phi<\pi$， 取 $k=0$ 得 $2\theta = \phi$。 因此 $$\cos\theta = \sqrt{\frac{1+\cos\phi}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt5}{5},$$ $$\sin\theta = \sqrt{\frac{1-\cos\phi}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt5}{5}.$$ 因為 $z$ 在第一象限，所以 $a=\cos\theta=\frac{\sqrt5}{5}$，$b=\sin\theta=\frac{2\sqrt5}{5}$。 故 $a=\frac{\sqrt5}{5}$，$b=\frac{2\sqrt5}{5}$。