$z^n=\alpha^n(\cos n\beta+i\sin n\beta)$，故 $x_n=\alpha^n\cos n\beta$、$y_n=\alpha^n\sin n\beta$。$(1)$ 中 $x_{10}=\cos(30\pi/7)=\cos(2\pi/7)$，但 $x_3=\cos(9\pi/7)=-\cos(2\pi/7)$，故錯。若 $y_3=0$，則 $\sin 3\beta=0$，所以 $\sin 6\beta=0$，故 $(2)$ 正確。$(3)$ 可取 $\alpha^3=2$ 且 $\cos 3\beta=\dfrac12$ 作反例。$(4)$ 若 $\beta=0$ 且 $\alpha>1$，則 $y_n=0$ 收斂但 $\alpha>1$，故錯。若 $x_n$ 收斂，則或 $\alpha<1$ 使 $z^n\to 0$，或角度落在實軸上而虛部為 $0$；因此 $y_n$ 也收斂，$(5)$ 正確。