113 分科測驗數學甲第 9 題

Question

設 $a,b,c,d$ 為實數。已知兩聯立方程組 $\begin{cases}ax+by=2\cx+dy=1\end{cases}$、$\begin{cases}ax+by=-1\cx+dy=-1\end{cases}$ 的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到 $\begin{bmatrix}1&-1&|&3\0&1&|&2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1&-1&|&2\0&1&|&-1\end{bmatrix}$，則聯立方程組 $\begin{cases}ax+by=0\cx+dy=1\end{cases}$ 的解為 $x=	ext{____}$，$y=	ext{____}$。

Accepted Answer

答案：$x=-7,\ y=0$
第一個列簡化矩陣給出解 $y=2$、$x-y=3$，故解為 $(5,2)$。第二個給出 $y=-1$、$x-y=2$，故解為 $(1,-1)$。因係數矩陣相同，解對右端向量線性相依。又 $(0,1)=-(2,1)-2(-1,-1)$，故所求解為 $-(5,2)-2(1,-1)=(-7,0)$。