113 分科測驗數學甲第 10 題

Question

坐標平面上，設 $\Gamma$ 為以原點為圓心的圓，$P$ 為 $\Gamma$ 與 $x$ 軸的其中一個交點。已知通過 $P$ 點且斜率為 $\dfrac{1}{2}$ 的直線交 $\Gamma$ 於另一點 $Q$，且 $\overline{PQ}=1$，則 $\Gamma$ 的半徑為 $	ext{____}$。（化為最簡根式）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{\sqrt{5}}{4}$
不失一般性令 $P=(r,0)$，直線為 $y=\dfrac12(x-r)$。圓心到此直線 $x-2y-r=0$ 的距離為 $\dfrac{r}{\sqrt5}$。弦長 $PQ=2\sqrt{r^2-\left(\dfrac{r}{\sqrt5}\right)^2}=2r\sqrt{\dfrac45}=\dfrac{4r}{\sqrt5}$。由 $PQ=1$ 得 $r=\dfrac{\sqrt5}{4}$。