113 分科測驗數學甲第 11 題

Question

設實數 $a_1,a_2,\ldots,a_9$ 是公差為 $2$ 的等差數列，其中 $a_1
e 0$ 且 $a_3>0$。若 $\log_2 a_3,\log_2 b,\log_2 a_9$ 三數依序也成等差數列，其中 $b$ 為 $a_4,a_5,a_6,a_7,a_8$ 其中一數，則 $a_9=	ext{____}$。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{25}{2}$
令 $t=a_3>0$，則 $a_9=t+12$，且 $b=t+2m$，其中 $m=1,2,3,4,5$。因 $\log_2 a_3,\log_2 b,\log_2 a_9$ 成等差，得 $b^2=a_3a_9$，即 $(t+2m)^2=t(t+12)$。化簡得 $4mt+4m^2=12t$，所以 $t=\dfrac{m^2}{3-m}$。正值可能為 $m=1,2$；但 $m=2$ 時 $t=4$，使 $a_1=a_3-4=0$，不合。故 $m=1$，$a_3=\dfrac12$，$a_9=\dfrac12+12=\dfrac{25}{2}$。