110 指考數學甲第 10 題

Question

坐標平面上，一個半徑為 $12$ 的圓與直線 $x+y=0$ 相交於兩點，且這兩點的距離為 $8$。若此圓與直線 $x+y=24$ 交於 $P$、$Q$ 兩點，則線段 $\overline{PQ}$ 的長度為 ____。（化成最簡根式）

Accepted Answer

答案：$8\sqrt{7}$
半徑 $r=12$，弦長 $8$ 時，圓心到直線 $x+y=0$ 的距離為 $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt{2}$。兩平行線 $x+y=0$ 與 $x+y=24$ 的距離為 $\dfrac{24}{\sqrt{2}}=12\sqrt{2}$。因第二條直線需與圓相交，圓心到 $x+y=24$ 的距離為 $12\sqrt{2}-8\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，故 $PQ=2\sqrt{12^2-(4\sqrt{2})^2}=2\sqrt{112}=8\sqrt{7}$。