110 指考數學甲第 11 題

Question

考慮一梯形 $ABCD$，其中 $\overline{AB}$ 與 $\overline{DC}$ 平行。已知點 $E$、$F$ 分別在對角線 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 上，且 $\overline{AB}=\dfrac{2}{5}\overline{DC}$、$\overline{AE}=\dfrac{3}{2}\overline{EC}$、$\overline{BF}=\dfrac{2}{3}\overline{FD}$，如圖所示。若將向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{FE}$ 表示成 $\alpha\overset{\large\rightharpoonup}{AC}+\beta\overset{\large\rightharpoonup}{AD}$，則實數 $\alpha=$ ____，$\beta=$ ____。（化成最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\alpha=\dfrac{9}{25},\ \beta=-\dfrac{4}{25}$
令 $D=0$、$C=d$、$A=a$，則 $B=a+\dfrac{2}{5}d$。由 $AE:EC=3:2$ 得 $E=a+\dfrac{3}{5}(d-a)=\dfrac{2}{5}a+\dfrac{3}{5}d$；由 $BF:FD=2:3$ 得 $F=B+\dfrac{2}{5}(0-B)=\dfrac{3}{5}a+\dfrac{6}{25}d$。因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{FE}=E-F=-\dfrac{1}{5}a+\dfrac{9}{25}d$。又 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}=d-a$、$\…