111學測數學A多選第9題詳解

已知 $P$ 為 $\triangle ABC$ 內一點，$\overset{\large\rightharpoonup}{AP}=a\overset{\large\rightharpoonup}{AB}+b\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$，$a,b$ 相異。 因為 $P$ 在 $\triangle ABC$ 內部，以 $A$ 為原點的仿射坐標中，$P$ 可表示為 $P=(1-a-b)A+aB+bC$，其中三項係數皆為正，所以 $$a>0,\; b>0,\; a+b<1.$$ 逐一分析各選項： 選項 $(1)$：$a<0$。因為 $a>0$，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$a+b>1$。因為 $a+b<1$，所以 $(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$0<a<1$。因為 $a>0$ 且 $a<1-b<1$，所以 $(3)$ 正確。 選項 $(4)$：由題意 $\overset{\large\rightharpoonup}{AQ}=b\overset{\large\rightharpoonup}{AB}+a\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$。$Q$ 的重心坐標為 $(1-a-b,\;b,\;a)$，三項皆為正，所以 $Q$ 也在三角形內部，$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$Q$ 不在三角形內部。由選項 $(4)$ 的分析已知 $Q$ 在三角形內部，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(3)(4)$。