105指考數學甲非選第12題詳解

（1）因為圓 $O$ 與 $\triangle ABC$ 的三邊均相切（即為 $\triangle ABC$ 的內切圓），$D,E,F$ 分別為與 $\overline{BC},\overline{AC},\overline{AB}$ 的切點，所以根據圓外一點到圓的兩切線段等長性質： $$\overline{BD} = \overline{BF} = x$$ 因為 $\overline{BC}=\overline{BD}+\overline{CD}=4$，所以 $\overline{CD}=4-x$。 因為 $\overline{CE}=\overline{CD}=4-x$，且 $\overline{AC}=\overline{AE}+\overline{CE}=5$，所以 $\overline{AE}=5-(4-x)=1+x$。 因為 $\overline{AF}=\overline{AE}=1+x$，且 $\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{BF}=6$，所以： $$(1+x)+x=6 \implies 2x+1=6 \implies x=\frac{5}{2}$$ （2）由（1）得 $x=\frac{5}{2}$，所以 $\overline{BD}=\frac{5}{2}$，$\overline{CD}=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。 因為 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BD}:\overline{CD}=\frac{5}{2}:\frac{3}{2}=5:3$，所以根據向量分點公式（內分點）： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \frac{\frac{3}{2}}{4}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{\frac{5}{2}}{4}\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \frac{3}{8}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \frac{5}{8}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$$ 對照 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \alpha\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \beta\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$，故 $\alpha=\frac{3}{8}$，$\beta=\frac{5}{8}$。