（1）根據圓外一點到圓的切線段等長性質： - 因 $B$ 到圓 $O$ 的切線段為 $\overline{BF}$ 與 $\overline{BD}$，故 $\overline{BD} = \overline{BF} = x$。 - 因 $\overline{BC} = 4$，故 $\overline{CD} = \overline{BC} - \overline{BD} = 4 - x$。 - 因 $C$ 到圓 $O$ 的切線段為 $\overline{CD}$ 與 $\overline{CE}$，故 $\overline{CE} = \overline{CD} = 4 - x$。 - 因 $\overline{AC} = 5$，故 $\overline{AE} = \overline{AC} - \overline{CE} = 5 - (4 - x) = 1 + x$。 又 $A$ 到圓 $O$ 的切線段為 $\overline{AE}$ 與 $\overline{AF}$，故 $\overline{AF} = \overline{AE} = 1 + x$。 因為 $F$ 點在線段 $\overline{AB}$ 上，故 $\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{BF}$： $$6 = (1 + x) + x \implies 2x + 1 = 6 \implies 2x = 5 \implies x = \dfrac{5}{2}$$ （2）由（1）中求得 $x = \dfrac{5}{2} = 2.5$，可得線段長度為： - $\overline{BD} = 2.5$ - $\overline{CD} = 4 - 2.5 = 1.5$ 因此在線段 $\overline{BC}$ 上，點 $D$ 將其分割的長度比為： $$\overline{BD} : \overline{CD} = 2.5 : 1.5 = 5 : 3$$ 根據向量分點公式，可以將 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD}$ 表示為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 的線性組合： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{\overline{BD}}{\overline{BC}}\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \dfrac{1.5}{4}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{2.5}{4}\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \dfrac{3}{8}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{5}{8}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$$ 對照 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \alpha \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \beta \overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 可得： $$\alpha = \dfrac{3}{8}, \beta = \dfrac{5}{8}$$