（1）在閉區間 $[0, 3]$ 中，$f(x)$ 的最大值 $12$ 發生在 $x = 0$ 與 $x = 2$ 兩處，故 $f(0) = 12, f(2) = 12$。 因 $x = 2$ 為區間內部的最大點，若 $f(x)$ 可微，必有 $f'(2) = 0$。且 $f(x) - 12 \le 0$ 在 $[0, 3]$ 上恆成立。 - 若三次項係數 $a > 0$，則當 $x > 2$ 時，圖形會往上攀升，使得當 $x \in (2, 3]$ 時 $f(x) > f(2) = 12$，與最大值為 $12$ 矛盾。 - 若三次項係數 $a < 0$，則在 $x \in (2, 3]$ 時，$f(x)$ 遞減，滿足 $f(x) < 12$。且在 $x \in [0, 2]$ 時，圖形可以由 $f(0) = 12$ 開始遞減至反折點再遞增至 $f(2) = 12$，均不超過 $12$。 因此，領導係數 $a$ 必為**負數** ($a < 0$)。 其在 $0 \le x \le 3$ 範圍中的圖形為一由左上往右下遞減，但在中間有波峰與波谷的三次曲線，其中 $(0, 12)$ 為左端點，$(2, 12)$ 為局部極大值點，且圖形在 $[0, 3]$ 範圍內均不超過 $y = 12$。 （2）由（1）可知 $x = 2$ 是 $f(x) - 12 = 0$ 的重根（切點），故可設： $$f(x) - 12 = a(x-2)^2(x-k)$$ 代入 $f(0) - 12 = 0$ 得： $$a(-2)^2(-k) = 0 \implies -4ak = 0$$ 因 $a \neq 0$，故 $k = 0$。即： $$f(x) - 12 = ax(x-2)^2$$ 方程式 $f(x) - 12 = 0$ 的實數解為 **$x = 0$ 且 $x = 2$ (重根)**。 由微積分基本定理，對任意實數 $s, r$ 恆有 $\int_s^r f(t) dt = G(r) - G(s)$，代表 $G'(x) = f(x)$。 已知 $y = G(x)$ 在 $x = 1$ 處有相對極值，故必有 $G'(1) = 0 \implies f(1) = 0$。 將 $x = 1$ 代入 $f(x) = ax(x-2)^2 + 12$： $$f(1) = a(1)(1-2)^2 + 12 = a + 12 = 0 \implies a = -12$$ （3）將 $a = -12$ 代回 $f(x)$ 得： $$f(x) = -12x(x-2)^2 + 12 = -12x(x^2 - 4x + 4) + 12 = -12x^3 + 48x^2 - 48x + 12$$ 利用 $G(0) = 0$ 可得： $$G(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (-12t^3 + 48t^2 - 48t + 12) dt = \left[ -3t^4 + 16t^3 - 24t^2 + 12t \right]_0^x = -3x^4 + 16x^3 - 24x^2 + 12x$$ 若要求 $G(x)$ 在 $0 \le x \le 2$ 的最小值，先找區間內的臨界點（即 $G'(x) = f(x) = 0$）： $$-12x^3 + 48x^2 - 48x + 12 = 0 \implies x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0$$ 觀察可知 $x = 1$ 為一實根。因式分解得： $$(x - 1)(x^2 - 3x + 1) = 0$$ 求得另外兩根為 $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$。 - $\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \dfrac{3 - 2.236}{2} = 0.382$ 落在 $[0, 2]$ 中。 - $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618$ 落在 $[0, 2]$ 之外。 分析 $G'(x) = f(x)$ 在 $[0, 2]$ 的正負號變化： - 當 $0 \le x < \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ 時，$G'(x) = f(x) > 0 \implies G(x)$ 遞增。 - 當 $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} < x < 1$ 時，$G'(x) = f(x) < 0 \implies G(x)$ 遞減。 - 當 $1 < x \le 2$ 時，$G'(x) = f(x) > 0 \implies G(x)$ 遞增。 因此，在 $[0, 2]$ 區間內： - $G(x)$ 的局部極小值發生在 $x = 1$： $$G(1) = -3(1)^4 + 16(1)^3 - 24(1)^2 + 12(1) = 1$$ - 區間端點值： $$G(0) = 0$$ $$G(2) = -3(2)^4 + 16(2)^3 - 24(2)^2 + 12(2) = -48 + 128 - 96 + 24 = 8$$ 比較所有端點值與局部極小值，$G(0) = 0$、$G(1) = 1$、$G(2) = 8$。因此，在 $0 \le x \le 2$ 範圍中，$G(x)$ 的最小值為 **$0$**（發生於 $x = 0$ 處）。