$(1)$ 因為 $p(x)$ 的各項係數均大於或等於 $0$，所以當 $x \ge 1$ 時，$p(x) \ge 0$。 而當 $x \ge 1$ 時，$-x^2 - 1 \le -2 < 0$。 因此，$p(x) \ge 0 > -x^2 - 1$，故 $p(x) > -x^2 - 1$ 對所有的 $x \ge 1$ 均成立。 $(2)$ 計算積分得： $$\int_1^t (-x^2 - 1)\,dx = \left[ -\dfrac{x^3}{3} - x \right]_1^t = \left( -\dfrac{t^3}{3} - t \right) - \left( -\dfrac{1}{3} - 1 \right) = -\dfrac{t^3}{3} - t + \dfrac{4}{3}.$$ $(3)$ 依題意，當 $t \ge 1$ 時，圍成區域的面積為： $$\text{Area}(t) = \int_1^t \left( p(x) - (-x^2 - 1) \right)\,dx = t^4 + t^3 + t^2 + t + C.$$ 當 $t = 1$ 時，積分上限與下限相同，故面積為 $0$： $$\text{Area}(1) = 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + C = 0 \implies 4 + C = 0 \implies C = -4.$$ $(4)$ 由上式可得： $$\int_1^t p(x)\,dx - \int_1^t (-x^2 - 1)\,dx = t^4 + t^3 + t^2 + t - 4.$$ 將 $(2)$ 的結果代入： $$\int_1^t p(x)\,dx - \left( -\dfrac{t^3}{3} - t + \dfrac{4}{3} \right) = t^4 + t^3 + t^2 + t - 4$$ $$\int_1^t p(x)\,dx = t^4 + \dfrac{2}{3}t^3 + t^2 - \dfrac{8}{3}.$$ 兩邊對 $t$ 微分，由微積分基本定理得： $$p(t) = \dfrac{d}{dt}\left( t^4 + \dfrac{2}{3}t^3 + t^2 - \dfrac{8}{3} \right) = 4t^3 + 2t^2 + 2t.$$ 故 $p(x) = 4x^3 + 2x^2 + 2x$。