102指考數學甲非選第13題詳解

因為$(1)$ 設變換 $M$ 的矩陣為 $M=\begin{bmatrix}p & q\\ r & s\end{bmatrix}$。依頁圖題意： $$M\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p\\r\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\sqrt{2}\end{bmatrix},$$ 故 $p=1, r=\sqrt{2}$。又 $$M\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q\\s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\\sqrt{2}\end{bmatrix},$$ 故 $q=-1, s=\sqrt{2}$。因此 $$M=\begin{bmatrix}1 & -1\\\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{bmatrix}.$$ $(2)$ 設 $\triangle ABC$ 的重心為 $G=\frac{A+B+C}{3}$。由於 $M$ 為線性變換，滿足加法與純量倍數性質，所以 $$M(G)=M\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\frac{M(A)+M(B)+M(C)}{3}=\frac{A'+B'+C'}{3}.$$ 而 $\frac{A'+B'+C'}{3}$ 正是 $\triangle A'B'C'$ 的重心，故變換 $M$ 將 $\triangle ABC$ 的重心映射至 $\triangle A'B'C'$ 的重心。 $(3)$ 變換矩陣的行列式為 $$\det(M)=1\cdot\sqrt{2}-(-1)\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.$$ 線性變換會使面積放大 $|\det(M)|$ 倍，因此 $$\text{Area}(\triangle A'B'C')=2\sqrt{2}\cdot 3=6\sqrt{2}.$$ 又 $A'(1,\sqrt{2})$、$B'(-1,\sqrt{2})$，所以 $A'B'=2$。設點 $C'$ 到直線 $A'B'$ 的距離為 $d$，則 $$6\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot d,$$ 故 $d=6\sqrt{2}$。