$(1)$ 設變換 $M$ 的矩陣為 $M = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}$。依題意： $$M \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \implies p = 1,\ r = 2.$$ $$M \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \implies q = 1,\ s = -2.$$ 故變換 $M$ 的矩陣為 $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$。 $(2)$ 設 $\triangle ABC$ 的重心為 $G = \dfrac{A+B+C}{3}$。 由於平面線性變換 $M$ 滿足線性性質（疊加性與齊次性），所以： $$M(G) = M\left( \dfrac{A+B+C}{3} \right) = \dfrac{M(A) + M(B) + M(C)}{3} = \dfrac{A' + B' + C'}{3}.$$ 其中 $\dfrac{A' + B' + C'}{3}$ 即為 $\triangle A'B'C'$ 的重心，故變換 $M$ 將 $\triangle ABC$ 的重心映射至 $\triangle A'B'C'$ 的重心。 $(3)$ 變換矩陣 $M$ 的行列式值為 $\det(M) = 1(-2) - 1(2) = -4$。 根據線性變換的面積變換公式，得變換後的面積： $$\text{Area}(\triangle A'B'C') = |\det(M)| \times \text{Area}(\triangle ABC) = |-4| \times 3 = 12.$$ 線段 $A'B'$ 的長度為： $$A'B' = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0 + 16} = 4.$$ 由面積公式 $\text{Area}(\triangle A'B'C') = \dfrac{1}{2} \times A'B' \times d(C', A'B')$： $$12 = \dfrac{1}{2} \times 4 \times d(C', A'B') \implies 12 = 2 \times d(C', A'B') \implies d(C', A'B') = 6.$$ 故點 $C'$ 與直線 $A'B'$ 的距離為 $6$。