111分科測驗數學甲多選第6題詳解

因為線性變換將 $A(1,0)$ 映射到 $A'(3,\sqrt3)$、$B(0,1)$ 映射到 $B'(-\sqrt3,3)$， 所以變換矩陣為 $$M = \begin{bmatrix}3 & -\sqrt3 \\ \sqrt3 & 3\end{bmatrix}.$$ $(1)$ 行列式 $\begin{vmatrix}3 & -\sqrt3 \\ \sqrt3 & 3\end{vmatrix} = 9-(-3)=12 \neq 6$，$(1)$ 錯誤。 $(2)$ 設 $C=(x,y)$ 滿足 $x^2+y^2=1$。 因為 $C' = MC = (3x-\sqrt3y,\;\sqrt3x+3y)$， 所以 $$\overline{OC'}^2 = (3x-\sqrt3y)^2+(\sqrt3x+3y)^2 = 9x^2-6\sqrt3xy+3y^2+3x^2+6\sqrt3xy+9y^2 = 12(x^2+y^2) = 12.$$ 因此 $\overline{OC'}=2\sqrt3$，$(2)$ 正確。 $(3)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OC'} = x(3x-\sqrt3y)+y(\sqrt3x+3y) = 3(x^2+y^2) = 3$。 夾角餘弦為 $\frac{3}{1\cdot2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}$， 夾角固定為 $30^\circ$，所以不可能為 $60^\circ$，$(3)$ 錯誤。 $(4)$ $y=y'$ 即 $y=\sqrt3x+3y \implies \sqrt3x+2y=0$。 在單位圓上存在滿足此關係的點（例如解聯立得 $x=-\frac{2}{\sqrt7},\,y=\frac{\sqrt3}{\sqrt7}$）， 因此有可能，$(4)$ 正確。 $(5)$ 要判斷 $x<y$ 是否保證 $x'<y'$。 計算 $y'-x' = (\sqrt3x+3y)-(3x-\sqrt3y) = (\sqrt3-3)x+(3+\sqrt3)y$。 取反例：$(x,y)=(-0.8,-0.6)$，此時 $x<y$ 且 $x^2+y^2=1$， $$y'-x' = (\sqrt3-3)(-0.8)+(3+\sqrt3)(-0.6) = 0.6-1.4\sqrt3.$$ 因為 $\sqrt3>1.7$，所以 $1.4\sqrt3>2.38$，$0.6-1.4\sqrt3<0$， 即 $y'<x'$，與 $(5)$ 的宣稱相反，$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。