111分科測驗數學甲多選第5題詳解

$\Gamma$ 的方程式 $(x-1)^2+(y-1)^2=101$ 表示圓心為 $(1,1)$、半徑 $r=\sqrt{101}$ 的圓。 $(1)$ 令 $y=0$，得 $(x-1)^2+1=101 \implies (x-1)^2=100$， 所以 $x=11$ 或 $x=-9$，交 $x$ 軸於 $(11,0)$ 與 $(-9,0)$。 令 $x=0$，得 $1+(y-1)^2=101 \implies (y-1)^2=100$， 所以 $y=11$ 或 $y=-9$，交 $y$ 軸於 $(0,11)$ 與 $(0,-9)$。 因為 $\Gamma$ 與 $x$ 軸負向交於 $(-9,0)$、與 $y$ 軸負向交於 $(0,-9)$，所以 $(1)$ 正確。 $(2)$ $x$ 坐標最大的點在圓的最右端，其 $x$ 坐標為 $1+\sqrt{101}$。 因為 $\sqrt{101}>10$，所以 $1+\sqrt{101}>11$，不是 $(11,0)$，$(2)$ 錯誤。 $(3)$ 原點 $O$ 到圓心的距離為 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$。 因為圓上的點到原點的最大距離為圓心到原點的距離加半徑， 所以最大值為 $\sqrt2+\sqrt{101}$，$(3)$ 正確。 $(4)$ 第三象限的點滿足 $x<0$ 且 $y<0$，極坐標的極徑 $r$ 隨點而異， 並非固定為 $9$。例如點 $(-9,0)$ 在 $x$ 軸上不屬第三象限， 而真正在第三象限的圓上點（如 $x=1-\sqrt{101}$ 附近）極徑各不相同， 因此 $(4)$ 錯誤。 $(5)$ 旋轉是正交線性變換（旋轉矩陣的行列式為 $1$）， 會將圓映射為圓，其方程式仍為不含 $xy$ 項的二元二次式，$(5)$ 正確。 故選 $(1)(3)(5)$。