112分科測驗數學甲選填第15題詳解

📅 112 年 📝 分科測驗數學甲第 15 題題型：選填課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$2\sqrt5$

本題考點：坐標幾何、平面上的坐標變換、旋轉、橢圓

題組

坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0<\theta<\pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma^{\prime}:40x^2+4\sqrt5xy+41y^2=180$，點 $(-\dfrac53,\dfrac{2\sqrt5}{3})$ 為 $\Gamma^{\prime}$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。

橢圓 $\Gamma^{\prime}$ 的長軸長為 $\text{____}$。（選填題，$2$ 分）

坐標幾何平面上的坐標變換旋轉橢圓二次曲線

解題手法數形結合〔AI 推測〕

答案

$2\sqrt5$

答案依 PDF 官方答案表；非選題答案表為斜線者，answer_from_source 留空。

詳解

1. 因為旋轉不改變點到原點的距離，也不改變橢圓的長短軸長，所以 $\Gamma$ 和 $\Gamma'$ 的長軸長相等。 2. 題目給 $\Gamma'$ 上離原點最遠的點之一為$\left(-\frac{5}{3},\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$，此點到原點的距離即為半長軸長： $$\sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{20}{9}}=\sqrt{\frac{45}{9}}=\sqrt{5}.$$ 因此長軸長為 $2\sqrt{5}$。

題目來源：民國112年分科測驗數學甲第15題（來源PDF第6頁）

資料版本：2026-07-17（commit e3f5a492）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈112分科測驗數學甲選填第15題詳解〉，資料版本 2026-07-17，https://twmath.com/questions/112_0XA_q15.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。