112分科測驗數學甲非選第14題詳解

1. 說明對稱性： $y=f(x)=\frac{1}{2}x^2$ 為偶函數，圖形對 $y$ 軸對稱； 圓 $x^2+(y-\frac{3}{2})^2=2$ 也對 $y$ 軸對稱， 所以所求區域對 $y$ 軸對稱。 2. 計算面積（利用對稱性，先求右半平面 $x\ge0$ 部分）： 在 $x\in[0,1]$ 範圍內，$y=f(x)$ 圖形上方與 $\Omega$ 下半圓弧之間的區域面積為 $$\int_0^1\!\left[\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2-x^2}\right)-\frac{1}{2}x^2\right]dx.$$ 分別積分： $$\begin{aligned} \int_0^1\frac{3}{2}\,dx&=\frac{3}{2}, \\[4pt] \int_0^1\frac{1}{2}x^2\,dx&=\frac{1}{6}, \\[4pt] \int_0^1\sqrt{2-x^2}\,dx&=\frac{1}{4}\pi\cdot(\sqrt{2})^2+\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}. \end{aligned}$$ 所以右半平面面積為 $\frac{3}{2}-\Bigl(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\Bigr)-\frac{1}{6} =\frac{5}{6}-\frac{\pi}{4}$。 3. 因為圖形對稱，所以所求總面積為 $$2\times\Bigl(\frac{5}{6}-\frac{\pi}{4}\Bigr)=\frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}.$$