112分科測驗數學甲非選第13題詳解

1. 求 $y=f(x)=\frac12x^2$ 在點 $P$ 的切線斜率： $$f'(x)=x,\;f'(1)=1.$$ 所以 $y=f(x)$ 在 $P$ 的切線斜率為 $1$。 2. 求圓 $\Omega$ 在點 $P$ 的切線斜率： 直線 $CP$ 的斜率為 $\frac{\frac12-\frac{3}{2}}{1-0}=-1$， 因為圓的半徑垂直於切線，所以圓在 $P$ 的切線斜率為 $\frac{-1}{-1}=1$。 3. 因為兩圖形在點 $P$ 的切線斜率相同（皆為 $1$），且都通過同一點 $P(1,\frac12)$， 所以兩切線重合，即 $y=f(x)$ 圖形與 $\Omega$ 在點 $P$ 有共同的切線，得證。 共同切線方程式為 $y-\frac12=1\cdot(x-1)$，即 $y=x-\frac12$。