1. **求第一條拋物線 $\Gamma_1$ 的方程式**： 頂點在 $V_1(-4, 0)$，焦點在 $F_1(-4, 4)$。 - 因為頂點與焦點的 $x$ 坐標皆為 $-4$，可知對稱軸為鉛直線 $x = -4$。 - 焦點在頂點上方（$y$ 坐標自 $0$ 增至 $4$），所以拋物線開口向上。 - 焦距 $c_1 = y(F_1) - y(V_1) = 4 - 0 = 4$。 依據拋物線標準式， $\Gamma_1$ 方程式為： $$(x - h)^2 = 4c(y - k) \implies (x + 4)^2 = 4 \times 4(y - 0) \implies (x + 4)^2 = 16y$$ 2. **求第二條拋物線 $\Gamma_2$ 的方程式**： 頂點在 $V_2(4, 4)$，焦點在 $F_2(4, 0)$。 - 因為頂點與焦點的 $x$ 坐標皆為 $4$，可知對稱軸為鉛直線 $x = 4$。 - 焦點在頂點下方（$y$ 坐標自 $4$ 減至 $0$），所以拋物線開口向下。 - 焦距 $c_2 = y(V_2) - y(F_2) = 4 - 0 = 4$。 依據拋物線標準式， $\Gamma_2$ 方程式為： $$(x - h)^2 = -4c(y - k) \implies (x - 4)^2 = -4 \times 4(y - 4) \implies (x - 4)^2 = -16(y - 4)$$ 3. **求解交點**： 我們聯立方程式： $$\begin{cases} (x + 4)^2 = 16y & \text{--- (1)} \\ (x - 4)^2 = -16y + 64 & \text{--- (2)} \end{cases}$$ 將式 (1) 的 $16y = (x + 4)^2$ 代入式 (2)： $$(x - 4)^2 = -(x + 4)^2 + 64 \implies (x - 4)^2 + (x + 4)^2 = 64$$ 展開並簡化： $$(x^2 - 8x + 16) + (x^2 + 8x + 16) = 64 \implies 2x^2 + 32 = 64 \implies 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16$$ 得到 $x = 4$ 或 $x = -4$： - 當 $x = 4$ 時，代回式 (1)： $16y = (4 + 4)^2 = 64 \implies y = 4$。交點為 $(4, 4)$。 - 當 $x = -4$ 時，代回式 (1)： $16y = (-4 + 4)^2 = 0 \implies y = 0$。交點為 $(-4, 0)$。 綜上所述，兩拋物線之交點為 $(-4, 0)$ 與 $(4, 4)$。