設推出甲型屋 $x$ 棟，乙型屋 $y$ 棟。 由於房屋棟數必須為非負整數，因此限制 $x \ge 0, y \ge 0$，且 $x, y \in \mathbb{Z}$。 1. **列出不等式限制條件**： - **地價總成本限制**（上限 $3500$ 萬元）： $$500x + 200y \le 3500 \implies 5x + 2y \le 35$$ - **所有建築費用限制**（上限 $1$ 億 $2000$ 萬元 $=$ $12000$ 萬元）： $$900x + 1500y \le 12000 \implies 3x + 5y \le 40$$ - **非負整數限制**： $$x \ge 0, \ y \ge 0, \ x, y \in \mathbb{Z}$$ 2. **列出目標函數**（利潤，單位：萬元）： $$P(x, y) = 500x + 500y = 500(x + y)$$ 要使利潤 $P(x, y)$ 最大，即要求 $x + y$ 的最大值。 3. **求解可行區域的端點**： 在第一象限內，繪製二元一次不等式組的可行區域，其邊界交點如下： - 與 $y$ 軸交點：當 $x = 0$ 時，由 $3x + 5y \le 40$ 限制，得頂點 $A(0, 8)$。 - 與 $x$ 軸交點：當 $y = 0$ 時，由 $5x + 2y \le 35$ 限制，得頂點 $B(7, 0)$。 - 兩直線的交點 $C$： $$\begin{cases} 5x + 2y = 35 \\ 3x + 5y = 40 \end{cases} \implies \begin{cases} 25x + 10y = 175 \\ 6x + 10y = 80 \end{cases} \implies 19x = 95 \implies x = 5$$ 代入得 $y = 5$。因此交點為 $C(5, 5)$。 4. **代入頂點求極值**： - 對於 $O(0, 0)$： $P(0, 0) = 500 \times 0 = 0$ 萬元。 - 對於 $A(0, 8)$： $P(0, 8) = 500 \times (0 + 8) = 4000$ 萬元。 - 對於 $B(7, 0)$： $P(7, 0) = 500 \times (7 + 0) = 3500$ 萬元。 - 對於 $C(5, 5)$： $P(5, 5) = 500 \times (5 + 5) = 5000$ 萬元。 因為交點 $C(5, 5)$ 的坐標皆為整數，且在此頂點獲得的利潤 $5000$ 萬元為最大值。 故公司應推出甲型屋 $5$ 棟，乙型屋 $5$ 棟。