**(1) 寫下 $x, \ y$ 必須滿足的不等式組**： 依題意，每天所需的營養素來自兩種飼料： - **營養素 A**：每公斤第一種飼料含 $7$ 單位，第二種含 $2$ 單位，每天至少需 $84$ 單位。得不等式： $$7x + 2y \ge 84$$ - **營養素 B**：每公斤第一種飼料含 $3$ 單位，第二種含 $6$ 單位，每天至少需 $72$ 單位。得不等式： $$3x + 6y \ge 72 \implies x + 2y \ge 24$$ - **營養素 C**：每公斤第一種飼料含 $3$ 單位，第二種含 $2$ 單位，每天至少需 $60$ 單位。得不等式： $$3x + 2y \ge 60$$ 因此，除了 $x \ge 0, \ y \ge 0$ 外，所求的不等式組為： $$\begin{cases} 7x + 2y \ge 84 \\ x + 2y \ge 24 \\ 3x + 2y \ge 60 \end{cases}$$ --- **(2) 求最少飼料成本與對應的 $x, \ y$ 值**： 我們欲在可行域內求目標函數（總成本）$P(x, y) = 5x + 4y$ 的最小值。 我們求可行域的各個邊界頂點： 1. 邊界直線 $7x + 2y = 84$ 與 $3x + 2y = 60$ 的交點： 兩式相減得 $4x = 24 \implies x = 6$，代入得 $2y = 60 - 3(6) = 42 \implies y = 21$。 交點為 $(6, 21)$，代入 $x + 2y \ge 24 \implies 6 + 42 = 48 \ge 24$ 滿足，故為可行域頂點。 2. 邊界直線 $3x + 2y = 60$ 與 $x + 2y = 24$ 的交點： 兩式相減得 $2x = 36 \implies x = 18$，代入得 $2y = 24 - 18 = 6 \implies y = 3$。 交點為 $(18, 3)$，代入 $7x + 2y \ge 84 \implies 7(18) + 6 = 132 \ge 84$ 滿足，故為可行域頂點。 3. 邊界與兩軸的交點： - 在 $y$ 軸上（$x = 0$）：由不等式組得 $2y \ge 84$ 且 $2y \ge 24$ 且 $2y \ge 60$，取交集得 $y \ge 42$，故頂點為 $(0, 42)$。 - 在 $x$ 軸上（$y = 0$）：由不等式組得 $7x \ge 84$ 且 $x \ge 24$ 且 $3x \ge 60$，取交集得 $x \ge 24$，故頂點為 $(24, 0)$。 將可行域的四個頂點代入目標函數 $P(x, y) = 5x + 4y$ 計算總成本： - 對於頂點 $(0, 42)$：$P(0, 42) = 5(0) + 4(42) = 168$ 元 - 對於頂點 $(6, 21)$：$P(6, 21) = 5(6) + 4(21) = 30 + 84 = 114$ 元 - 對於頂點 $(18, 3)$：$P(18, 3) = 5(18) + 4(3) = 90 + 12 = 102$ 元 - 對於頂點 $(24, 0)$：$P(24, 0) = 5(24) + 4(0) = 120$ 元 比較可得，當 $x = 18$ 且 $y = 3$ 時，總成本最低，最少成本為 $102$ 元。