**(1) 求 $\sqrt{1521}$ 之外觀值**： - 由於 $30^2 = 900$ 且 $40^2 = 1600$，可知 $\sqrt{1521}$ 介於 $30$ 與 $40$ 之間。 - 又 $1521$ 的個位數為 $1$，故其平方根個位數只可能為 $1$ 或 $9$。我們檢驗 $39$： $$39^2 = (40 - 1)^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521$$ 因此，$\sqrt{1521} = 39$。 --- **(2) 求甲所擊球停止位置與鈔票中心點的距離**： - 以長方形球台之左下角頂點為原點 $(0, 0)$，球台下邊為 $x$ 軸，左緣為 $y$ 軸建立平面直角坐標系。 - 鈔票寬 $16$ 公分、長 $7$ 公分，貼邊放置在左下角。因此，鈔票中心的坐標為： $$C = \left(\dfrac{16}{2}, \ \dfrac{7}{2}\right) = (8, \ 3.5)$$ - 依題意，甲擊球的位置坐標為 $P_{\text{甲}} = (23, \ 39.5)$。 - 計算甲球位置與中心點 $C$ 的距離 $d_{\text{甲}}$： $$d_{\text{甲}} = \sqrt{(23 - 8)^2 + (39.5 - 3.5)^2} = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521}$$ - 由子題 $(1)$ 得，此距離為 $39$ 公分。 --- **(3) 裁定甲或乙獲勝**： - 乙擊球的位置坐標為 $P_{\text{乙}} = (40, \ 27.5)$。 - 計算乙球位置與中心點 $C$ 的距離 $d_{\text{乙}}$： $$d_{\text{乙}} = \sqrt{(40 - 8)^2 + (27.5 - 3.5)^2} = \sqrt{32^2 + 24^2}$$ 我們提出公因數 $8$： $$d_{\text{乙}} = \sqrt{(8 \times 4)^2 + (8 \times 3)^2} = 8 \times \sqrt{4^2 + 3^2} = 8 \times 5 = 40 \text{ 公分}$$ - 比較兩人球的停置點與鈔票中心點之距離： $$d_{\text{甲}} = 39 \text{ 公分} < d_{\text{乙}} = 40 \text{ 公分}$$ - 由於甲的球靜止位置離鈔票中心點較近，故裁判應裁定**甲**獲勝。