98指考數學乙選填第9題詳解

1. 設大教室 $x$ 間，小教室 $y$ 間。約束條件： \begin{aligned} 40x+20y&\ge 1600\;\implies\;2x+y\ge 80\\ x+y&\le 60\\ 0\le x&\le 50,\;0\le y\le 60 \end{aligned} 目標：租金 $P=500x+150y$ 最小。 2. 化簡：$y\ge 80-2x$，且 $y\le 60-x$。可行區域為 $80-2x\le y\le 60-x$，且 $0\le x\le 50$，$0\le y\le 60$。因為 $80-2x\le 60-x$，所以 $x\ge 20$。 3. 在可行區域的頂點處求值： - $(20,40)$：$P=500\times 20+150\times 40=10000+6000=16000$ - $(50,0)$：$P=500\times 50=25000$ - $(50,10)$：$P=500\times 50+150\times 10=25000+1500=26500$ 比較各頂點，因為 $16000<25000<26500$，所以 $(x,y)=(20,40)$ 時租金最低，為 $16000$ 元。 故大教室 $20$ 間，小教室 $40$ 間。