設租借大教室 $x$ 間，小教室 $y$ 間。依據限制條件列出二元一次不等式組： 1. **限制條件**： - 大教室最大間數限制：$0 \le x \le 50$ - 小教室最大間數限制：$0 \le y \le 60$ - 教室總間數限制：$x + y \le 60$ - 可容納考生人數限制（必須大於等於 $1600$ 人）： $$40x + 20y \ge 1600 \implies 2x + y \ge 80$$ 2. **目標函數**（欲求租金費用 $P$ 的最小值）： $$P(x, y) = 500x + 150y$$ 3. **繪製可行區域並求其頂點**： 此可行區域在平面坐標上的頂點分別為： - 直線 $2x + y = 80$ 與 $x + y = 60$ 的交點： $$\begin{cases} 2x + y = 80 \\ x + y = 60 \end{cases} \implies (x, y) = (20, 40)$$ - 直線 $x + y = 60$ 與 $x = 50$ 的交點：$(50, 10)$ - 直線 $2x + y = 80$ 與 $y = 0$ 的交點：$(40, 0)$ - 直線 $x = 50$ 與 $y = 0$ 的交點：$(50, 0)$ 4. **將各頂點代入目標函數**： - 帶入 $(20, 40)$ 得：$P(20, 40) = 500 \times 20 + 150 \times 40 = 10000 + 6000 = 16000\text{ 元}$ - 帶入 $(50, 10)$ 得：$P(50, 10) = 500 \times 50 + 150 \times 10 = 25000 + 1500 = 26500\text{ 元}$ - 帶入 $(40, 0)$ 得：$P(40, 0) = 500 \times 40 + 0 = 20000\text{ 元}$ - 帶入 $(50, 0)$ 得：$P(50, 0) = 500 \times 50 + 0 = 25000\text{ 元}$ 經比較，當租借大教室 $20$ 間，小教室 $40$ 間時，場地租借費用最省，最低費用為 $16000$ 元。 因此，大教室租借 $20$ 間，小教室租借 $40$ 間。