列車共有 $7$ 節車廂，依序編號為 $1$ 至 $7$。 動物資源有：企鵝（記為 $P$） $\times 2$、無尾熊（記為 $K$） $\times 2$、貓熊（記為 $M$） $\times 3$。 限制條件為最中間的三節車廂（即 $3$、$4$、$5$ 號位置）必須分配到 $P$、$K$、$M$ 各一節。 我們可以使用步驟式的排列組合與乘法原理進行解題： 1. **步驟一**：分配最中間的三節車廂（$3$、$4$、$5$ 號）。 這三節車廂必須包含 企鵝、無尾熊、貓熊 各一。這相當於將相異的三個元素 $\{P, K, M\}$ 排列至三個特定位置，方法數為： $$P^3_3 = 3! = 6\text{ 種}$$ 2. **步驟二**：分配剩下的四節車廂（$1$、$2$、$6$、$7$ 號）。 扣除步驟一已使用的動物後，剩下的動物資源為： - 企鵝：$2 - 1 = 1$ 節 - 無尾熊：$2 - 1 = 1$ 節 - 貓熊：$3 - 1 = 2$ 節 這四個剩餘動物元素 $\{P, K, M, M\}$ 必須排列在剩下的 $1$、$2$、$6$、$7$ 號這四個車廂位置。這是一個不盡相異物的排列問題，方法數為： $$\dfrac{4!}{1! \times 1! \times 2!} = \dfrac{24}{2} = 12\text{ 種}$$ 3. **步驟三**：利用乘法原理求總畫法數。 $$\text{總畫法數} = \text{中間三節的排列數} \times \text{剩餘車廂的排列數} = 6 \times 12 = 72\text{ 種}$$ 因此，一共具有 $72$ 種畫法。