(1) **計算平均基本成本**： 基本成本函數為： $$f(x) = 5 + 2x$$ 當接到訂單為 $20$ 千個時，代入 $x = 20$，可得玩具生產之總基本成本為： $$f(20) = 5 + 2(20) = 45\text{ 萬元}$$ 交貨時，平均每千個玩具的基本成本為： $$\dfrac{f(20)}{20} = \dfrac{45}{20} = 2.25\text{ 萬元}$$ (2) **求解二次函數 $g(x)$**： 設報價總值之二次函數為： $$g(x) = ax^2 + bx + c$$ 將題目給定的三組對應數值 $(5, 37.5)$、$(10, 70)$、$(15, 97.5)$ 分別代入： $$\begin{cases} 25a + 5b + c = 37.5 & \text{---(式 1)} \\ 100a + 10b + c = 70 & \text{---(式 2)} \\ 225a + 15b + c = 97.5 & \text{---(式 3)} \end{cases}$$ 進行聯立求解： - $\text{(式 2)} - \text{(式 1)}$ 得： $$75a + 5b = 32.5 \implies 15a + b = 6.5 \ \text{---(式 4)}$$ - $\text{(式 3)} - \text{(式 2)}$ 得： $$125a + 5b = 27.5 \implies 25a + b = 5.5 \ \text{---(式 5)}$$ - $\text{(式 5)} - \text{(式 4)}$ 得： $$10a = -1 \implies a = -0.1$$ - 將 $a = -0.1$ 代回 $\text{(式 4)}$，得： $$15(-0.1) + b = 6.5 \implies b = 8$$ - 將 $a = -0.1, b = 8$ 代回 $\text{(式 1)}$，得： $$25(-0.1) + 5(8) + c = 37.5 \implies -2.5 + 40 + c = 37.5 \implies c = 0$$ 因此，報價總值函數為： $$g(x) = -0.1x^2 + 8x$$ (3) **計算最大獲利時之訂單數量**： 由題意知，獲利函數為： $$h(x) = g(x) - f(x) = (-0.1x^2 + 8x) - (5 + 2x) = -0.1x^2 + 6x - 5$$ 這是一個二次項係數為負（開口向下）的二次函數拋物線，最大值會發生在拋物線的頂點。 頂點之 $x$ 坐標為： $$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2(-0.1)} = \dfrac{6}{0.2} = 30$$ 因此，當訂單數量為 $30$ 千個時，獲利總值最高（此時最大獲利為 $h(30) = -0.1(30)^2 + 6(30) - 5 = 85$ 萬元）。