98指考數學乙非選第11題詳解

$(1)$ 接到 $20$ 千個的訂單時，基本成本為 $$ f(20)=5+2\times20=45\text{ 萬元}. $$ 因為總成本要平均分攤到 $20$ 千個玩具，所以每千個的基本成本平均為 $$ \frac{45}{20}=\frac{9}{4}\text{ 萬元}. $$ $(2)$ 由表中三個資料點可讀得 $$ g(5)=37.5,\;g(10)=70,\;g(15)=97.5. $$ 先計算等距點的差： $$ g(10)-g(5)=32.5,\;g(15)-g(10)=27.5. $$ 因為二次函數在等距點上的二階差分為常數，所以二階差分為 $$ 27.5-32.5=-5. $$ 若 $g(x)=ax^2+bx+c$，步長為 $5$ 時二階差分為 $2a\cdot5^2=50a$，因此 $$ 50a=-5\implies a=-\frac{1}{10}. $$ 代入 $g(5)=37.5$ 與 $g(10)=70$，得到 $$ \begin{cases} 25a+5b+c=37.5,\\ 100a+10b+c=70, \end{cases} \implies b=8,\;c=0. $$ 所以 $$ g(x)=-\frac{1}{10}x^2+8x. $$ $(3)$ 因為 $f(x)=5+2x$，所以獲利函數為 $$ h(x)=g(x)-f(x) =-\frac{1}{10}x^2+8x-(5+2x) =-\frac{1}{10}x^2+6x-5 =-\frac{1}{10}(x-30)^2+85. $$ 因此 $$ h(x)\le85, $$ 且當 $x=30$ 時取等號，所以訂單數量為 $30$ 千個時，獲利總值最高 $85$ 萬元。